Ma thèse
Modèle de régression à risques proportionnels de Cox
Qu'est-ce qui fait récidiver plus vite ? Et le grade compte-t-il vraiment, ou est-ce juste qu'il va avec les ganglions ?
À quoi sert ce test ?
Sert quand la question n'est pas seulement « qui a récidivé ? » mais « qui récidive plus vite ? ». Le modèle mesure, pour chaque facteur, à quel point il accélère ou retarde la survenue de l'événement — et il le fait à profil égal par ailleurs (l'effet du grade est mesuré à taille de tumeur égale, à statut ganglionnaire égal…). Son autre intérêt : il sait quoi faire des patientes qui quittent l'étude sans avoir récidivé.
Ex : à âge et taille de tumeur comparables, un grade III fait-il récidiver plus vite qu'un grade I ?
4 facteurs étudiés
grade · ganglions · taille · RH
Ce qu'on observe
Délai avant récidive
récidive ou censure
n = 120 — suivi médian 48 mois
Un exemple concret
On suit 120 patientes traitées pour un cancer du sein non métastatique, pendant 48 mois en médiane, et on note pour chacune le délai avant récidive. Quatre facteurs sont étudiés : grade histologique, statut ganglionnaire, taille tumorale, récepteurs hormonaux. Toutes les patientes n'ont pas récidivé : certaines vont bien à la fin de l'étude, d'autres ont déménagé. On ne va pas les jeter pour autant — on sait qu'elles n'avaient pas récidivé jusqu'à une date précise, et c'est déjà une information. On dit qu'elles sont « censurées ».
| Variable | HR | IC95 % | p |
|---|---|---|---|
| Grade III vs I-II | 2,6 | 1,3 – 5,1 | 0,006 |
| N+ vs N0 | 3,1 | 1,6 – 5,9 | < 0,001 |
| Taille > 2 cm | 1,8 | 0,9 – 3,5 | 0,08 |
| RH négatifs | 2,2 | 1,1 – 4,4 | 0,024 |
Les conditions à vérifier
- Deux colonnes : le délai de suivi, et l'événement (survenu ou non)
- Les patientes perdues de vue le sont pour une raison sans rapport avec leur risque de récidive
- L'écart de risque entre deux profils reste le même du début à la fin du suivi (« risques proportionnels »)
- Au moins 10 événements par facteur étudié — en dessous, les résultats deviennent instables
- Pas deux facteurs qui disent la même chose (ex : âge et année de naissance)
Ce qu'on teste : H0 et H1
En général
H0 : Aucun facteur ne change la vitesse de survenue de l'événement : tous les HR valent 1.
H1 : Au moins un facteur change la vitesse de survenue de l'événement : son HR est différent de 1.
Sur cet exemple
H0 : Ni le grade, ni les ganglions, ni la taille, ni les récepteurs hormonaux ne changent la vitesse de récidive (tous les HR = 1).
H1 : Au moins un de ces quatre facteurs change la vitesse de récidive (son HR ≠ 1).
α = 0.05 — le risque qu'on accepte de se tromper en annonçant une différence qui n'existe pas (5 %)
Comment le test calcule ça
À chaque récidive observée, le modèle fait un arrêt sur image : il regarde qui était encore indemne à cet instant précis, et se demande « vu leurs profils, quelle était la chance que ce soit justement celle-là qui récidive ? ». Il essaie ensuite tous les jeux de coefficients possibles et garde celui qui rend la suite des récidives réellement observées la plus plausible. La formule dit une chose simple : le risque d'une patiente, c'est un risque de fond — le même pour toutes, qui monte et descend avec le temps — multiplié par un nombre qui ne dépend que de son profil. Toute l'astuce de Cox est là : ce risque de fond n'est jamais calculé, il se simplifie dans la comparaison entre deux profils. On ne compare que les multiplicateurs. Chaque coefficient β se lit en HR = exp(β) : le nombre par lequel le risque est multiplié. (Détail technique : cette façon d'ignorer volontairement le risque de fond s'appelle la vraisemblance partielle.)
Notations
- h(t | X)
- la « vitesse » à laquelle l'événement menace une patiente au temps t, compte tenu de son profil X
- h₀(t)
- le risque de fond : celui d'une patiente de profil neutre. Il change avec le temps, il est le même pour toutes, et le modèle n'a jamais besoin de le calculer
- x₁ … xₖ
- le profil de la patiente : ses valeurs pour chaque facteur (grade, ganglions…)
- β₁ … βₖ
- le poids que le modèle attribue à chaque facteur — c'est ce qu'il cherche
- exp(…)
- transforme les poids en un multiplicateur toujours positif (un risque ne peut pas être négatif)
- HR
- Hazard Ratio = exp(β). HR = 2 → l'événement frappe 2 fois plus vite. HR > 1 : mauvais pronostic. HR < 1 : protecteur. HR = 1 : aucun effet
Le résultat et son interprétation
La question posée à chaque facteur est toujours la même : « son HR vaut-il 1 ? », c'est-à-dire « ne change-t-il rien ? ». La réponse se lit sur l'intervalle de confiance à 95 %, la fourchette où se trouve probablement le vrai HR. Si cette fourchette contient 1, on ne peut pas exclure que le facteur ne serve à rien → non significatif. Si elle est entièrement au-dessus de 1, le facteur accélère la survenue ; entièrement en dessous, il la retarde. Lecture directe : HR = 2,6 signifie qu'à chaque moment du suivi, la récidive est 2,6 fois plus fréquente chez ces patientes — soit 160 % de risque en plus, ((2,6 − 1) × 100).
Test global : χ² = 28,3, à comparer au seuil de 9,49 (valeur au-delà de laquelle on ne croit plus au hasard, pour 4 facteurs et α = 5 %). 28,3 est très au-dessus de 9,49, p < 0,001 : les quatre facteurs réunis apportent une vraie information, on n'est pas devant du bruit. Facteur par facteur, trois fourchettes sur quatre ne contiennent pas 1 : les ganglions envahis (HR = 3,1 — le plus lourd : récidive 3 fois plus rapide), le grade III (HR = 2,6) et les récepteurs hormonaux négatifs (HR = 2,2). La taille > 2 cm (HR = 1,8) a une fourchette de 0,9 à 3,5 : elle contient 1, donc l'effet apparent n'est pas démontré (p = 0,08). Attention, cela ne veut pas dire que la taille ne compte pas — seulement qu'avec 120 patientes on n'arrive pas à le prouver, d'autant qu'une grosse tumeur va souvent de pair avec des ganglions envahis, qui « prennent » l'effet à sa place.