Ma thèse
Régression linéaire — test de la pente
De combien le souffle augmente-t-il par centimètre de taille ? (et pas juste : est-ce que ça monte ?)
À quoi sert ce test ?
Là où la corrélation dit seulement « ça monte ensemble, et c'est net », la régression va plus loin : elle chiffre l'effet. Elle trace la droite qui passe au mieux à travers le nuage et en tire une équation utilisable — donnez-lui une taille, elle vous rend un souffle attendu. C'est la différence entre constater un lien et le quantifier.
Ex : « 5,6 L/min de souffle en plus par centimètre » — une phrase que la corrélation seule ne permet pas d'écrire.
Prédicteur
Taille
cm
Ce qu'on prédit
DEP
L/min
Y prédit linéairement par X — n = 35 sujets
Un exemple concret
On cherche à prédire le débit expiratoire de pointe (DEP, L/min) à partir de la taille (cm) chez 35 adultes sains. Avant de calculer quoi que ce soit, on regarde le nuage de points : il a bien l'allure d'une droite. On vérifie ensuite que les erreurs du modèle se comportent correctement (voir les conditions).
| Sujet | Taille (cm) | DEP (L/min) |
|---|---|---|
| 1 | 158 | 380 |
| 2 | 165 | 420 |
| 3 | 172 | 470 |
| 4 | 180 | 520 |
| 5 | 175 | 490 |
| 6 | 162 | 400 |
| 7 | 185 | 540 |
| 8 | 170 | 450 |
Les conditions à vérifier
- Ce qu'on prédit doit être une valeur mesurée (pas une catégorie)
- Le nuage de points a l'allure d'une droite — à regarder AVANT de calculer
- Les erreurs du modèle se répartissent en courbe en cloche (Shapiro-Wilk sur les résidus)
- Le modèle se trompe autant chez les petits que chez les grands — l'erreur ne doit pas s'élargir en entonnoir
- Un sujet = une ligne, indépendante des autres
Ce qu'on teste : H0 et H1
En général
H0 : La pente est nulle (β = 0) : la droite est plate, le prédicteur n'apporte rien.
H1 : La pente n'est pas nulle (β ≠ 0) : le prédicteur influence bien ce qu'on mesure.
Sur cet exemple
H0 : La taille n'influence pas le souffle : la droite est plate (β = 0).
H1 : La taille influence le souffle : la droite a une pente (β ≠ 0).
α = 0.05 — le risque qu'on accepte de se tromper en annonçant une différence qui n'existe pas (5 %)
Comment le test calcule ça
Comment choisir « la » droite parmi toutes celles qu'on pourrait tracer dans le nuage ? On mesure, pour chaque sujet, de combien la droite le rate : c'est l'écart vertical entre son point et la droite — ce qu'on appelle un résidu. On met ces écarts au carré (pour que les ratés au-dessus et en dessous ne s'annulent pas), on les additionne, et on retient la droite qui rend ce total le plus petit possible. D'où le nom : les moindres carrés. Reste à savoir si la pente obtenue est réelle. On la divise par sa propre imprécision : une pente de 5,6 connue à ± 0,3 près est solide, la même pente connue à ± 5 près ne vaut rien. C'est tout ce que dit la formule du t.
Notations
- β̂
- la pente trouvée : de combien Y monte quand X augmente de 1 (ici 5,6 L/min par cm)
- SE(β̂)
- l'imprécision de cette pente — de combien elle pourrait bouger avec un autre échantillon
- t
- la pente divisée par son imprécision : « la pente vaut tant de fois ce qu'on ignore d'elle »
- résidu
- l'écart entre un point réel et la droite : de combien le modèle se trompe pour ce sujet
- R²
- la part des écarts de Y qu'explique X, de 0 à 1 (ici 0,89, soit 89 %)
- ddl
- n − 2 (ici 33)
Le résultat et son interprétation
Deux nombres à lire, et ils ne disent pas la même chose. Le p répond à « cette pente est-elle réelle ? ». Le R² répond à « le modèle prédit-il bien ? » : c'est la part des écarts expliquée par le prédicteur. Les deux sont indépendants — avec beaucoup de sujets, une pente minuscule et un R² de 0,04 peuvent parfaitement être « significatifs » tout en ne prédisant rien. Et surtout : la droite n'est valable que dans l'intervalle observé. Prédire le souffle d'un enfant de 90 cm avec une équation construite sur des adultes de 155 à 185 cm n'a aucun sens.
F = 267 contre un seuil de 4,14, p < 0,001 : la pente est bien réelle. R² = 0,89 : la taille explique 89 % des écarts de souffle entre les sujets — il ne reste que 11 % pour tout le reste (âge, sexe, tabac, effort du patient le jour du test). C'est une relation exceptionnellement forte, comme on en voit rarement en clinique. L'équation se lit directement : DEP = 5,6 × Taille − 508, soit 5,6 L/min de plus par centimètre. Le −508 n'a, lui, aucun sens physiologique : c'est le souffle « prédit » pour une taille de 0 cm. Il ne sert qu'à caler la droite à la bonne hauteur.