Ma thèse
Test F de Fisher-Snedecor (comparaison de 2 variances)
La pompe stabilise-t-elle mieux la glycémie ? (je ne compare pas les moyennes, mais les montagnes russes)
À quoi sert ce test ?
Le seul test de la liste qui ne s'intéresse pas aux moyennes, mais à la dispersion. Et parfois c'est ça qui compte : deux diabétiques peuvent avoir exactement la même glycémie moyenne, l'un tranquillement stable, l'autre en montagnes russes entre hypo et hyper. La moyenne ne verrait aucune différence ; la variance, si. On s'en sert aussi comme vérification avant un test t, pour savoir s'il faut appliquer la correction de Welch.
Ex : même glycémie moyenne dans les deux groupes — mais l'un des deux fait-il le yo-yo ?
Pompe
s² = 0,018
n = 10
Injections
s² = 0,052
n = 10
Variance glycémique
Un exemple concret
On compare la variabilité de la glycémie capillaire chez 20 patients diabétiques de type 1 : 10 sous pompe à insuline et 10 sous injections multiples. Dans les deux groupes, les glycémies se répartissent en courbe en cloche — condition indispensable ici, car ce test y est particulièrement sensible.
| Groupe | n | Variance (g/L)² | Écart-type (g/L) |
|---|---|---|---|
| Pompe | 10 | 0,018 | 0,134 |
| Injections | 10 | 0,052 | 0,228 |
Les conditions à vérifier
- Une variable quantitative (une valeur mesurée)
- Deux groupes composés de personnes différentes
- Dans chaque groupe, les valeurs se répartissent en courbe en cloche — condition stricte : ce test est le plus sensible de tous à ce point, une distribution tordue suffit à fausser le résultat
Ce qu'on teste : H0 et H1
En général
H0 : Les deux groupes sont aussi dispersés l'un que l'autre (σ₁² = σ₂²).
H1 : Un groupe est plus dispersé que l'autre (σ₁² ≠ σ₂²).
Sur cet exemple
H0 : La pompe et les injections donnent des glycémies aussi variables.
H1 : La pompe et les injections ne donnent pas des glycémies aussi variables.
α = 0.05 — le risque qu'on accepte de se tromper en annonçant une différence qui n'existe pas (5 %)
Comment le test calcule ça
Le calcul le plus simple de toute la liste : on divise la plus grande dispersion par la plus petite. C'est tout. Si les deux groupes étaient aussi stables l'un que l'autre, le rapport tournerait autour de 1 — jamais exactement 1, parce que le hasard fait toujours qu'un groupe est un peu plus dispersé que l'autre, mais pas loin. Plus F s'éloigne de 1, plus un groupe fait le yo-yo par rapport à l'autre. Un mot sur la variance, puisque c'est elle qu'on compare : c'est l'écart-type au carré. On raisonne sur des carrés, ce qui a une conséquence pratique — les écarts sont amplifiés. Ici F = 2,89 sur les variances, alors que le rapport des écarts-types (0,228 / 0,134) n'est que de 1,7.
Notations
- s²
- la variance : à quel point les valeurs d'un groupe s'écartent de leur moyenne. C'est l'écart-type au carré
- s²_max
- la plus grande des deux variances — on la met toujours en haut, pour que F soit toujours ≥ 1
- s²_min
- la plus petite des deux variances
- n₁, n₂
- le nombre de patients dans chaque groupe
- ddl
- (n₁ − 1, n₂ − 1) — ici (9, 9). Le seuil dépend des deux à la fois
Le résultat et son interprétation
Sous H0, F tourne autour de 1. Plus il s'en éloigne, plus les dispersions diffèrent — et le seuil dépend de la taille des deux groupes (avec de petits effectifs, il faut un F très grand pour conclure). Deux mises en garde : ce test est le plus sensible de tous à la forme des données ; sur une distribution tordue, il peut crier à la différence de variance alors qu'il ne voit que l'asymétrie. C'est pourquoi le test de Levene, plus robuste, lui est souvent préféré comme prérequis d'un test t. Et « variances égales » n'est jamais une conclusion : ne pas rejeter H0 signifie seulement qu'on n'a pas su montrer la différence.
F = 2,89 : la glycémie est près de 3 fois plus dispersée sous injections que sous pompe. p = 0,04, donc on rejette le hasard — mais de justesse, avec seulement 10 patients par groupe. En clair : la pompe stabilise mieux la glycémie. Conséquence pratique immédiate, si on veut ensuite comparer les moyennes des deux groupes : les dispersions étant inégales, il faudra un test t avec correction de Welch, et pas un Student classique.