Ma thèse
Coefficient de corrélation r de Pearson — T de corrélation
Quand l'IMC monte, la tension monte-t-elle avec ? Et si oui, à quel point est-ce net ?
À quoi sert ce test ?
Sert quand on a deux mesures chez les mêmes personnes et qu'on se demande si elles varient ensemble. Le r résume le nuage de points en un seul nombre entre −1 et +1 : le signe dit le sens (les deux montent ensemble, ou l'une monte quand l'autre descend), et la valeur absolue dit à quel point les points s'alignent. Attention, il ne mesure qu'un seul type de relation : la ligne droite.
Ex : deux mesures qui semblent aller de pair sur un nuage de points — à quel point est-ce vrai ?
Variable 1
IMC
kg/m² · quantitative
Variable 2
PAD
mmHg · quantitative
Relation linéaire à tester — n = 40 paires
Un exemple concret
On mesure l'indice de masse corporelle (kg/m²) et la pression artérielle diastolique (mmHg) chez 40 adultes en consultation de médecine générale. Les deux variables se répartissent en courbe en cloche (Shapiro-Wilk, p > 0,05) et le nuage de points a bien l'allure d'une droite : les conditions de Pearson sont réunies.
| Patient | IMC (kg/m²) | PAD (mmHg) |
|---|---|---|
| 1 | 22.1 | 72 |
| 2 | 25.4 | 78 |
| 3 | 28.7 | 85 |
| 4 | 31.2 | 88 |
| 5 | 19.8 | 68 |
| 6 | 33.5 | 92 |
| 7 | 26.3 | 80 |
| 8 | 24 | 75 |
Les conditions à vérifier
- Deux variables quantitatives (deux valeurs mesurées chez la même personne)
- Les deux se répartissent en courbe en cloche (Shapiro-Wilk)
- Le nuage de points a l'allure d'une droite — à regarder avant tout calcul, c'est la condition la plus oubliée
- Pas de valeur extrême isolée : un seul point aberrant peut faire basculer le r à lui tout seul
Ce qu'on teste : H0 et H1
En général
H0 : Les deux variables ne varient pas ensemble (r = 0) : le nuage n'a aucune pente.
H1 : Les deux variables varient ensemble (r ≠ 0).
Sur cet exemple
H0 : L'IMC et la tension diastolique ne varient pas ensemble (r = 0).
H1 : L'IMC et la tension diastolique varient ensemble (r ≠ 0).
α = 0.05 — le risque qu'on accepte de se tromper en annonçant une différence qui n'existe pas (5 %)
Comment le test calcule ça
Le principe : pour chaque patient, on regarde s'il est au-dessus ou en dessous de la moyenne, sur les deux variables à la fois. Un patient dont l'IMC dépasse la moyenne ET dont la tension dépasse la moyenne « vote » pour une relation positive. Un patient au-dessus sur l'un mais en dessous sur l'autre vote contre. On additionne tous ces votes : c'est le haut de la fraction. Le bas de la fraction ne sert qu'à ramener le résultat sur une échelle lisible, de −1 à +1, quelles que soient les unités. C'est ce qui permet de comparer un r entre des kg/m² et des mmHg à un r entre des années et des points de score. Un r de +1 signifie que tous les points sont exactement sur une droite montante, −1 sur une droite descendante, et 0 qu'il n'y a aucune pente.
Notations
- xᵢ, yᵢ
- les deux valeurs mesurées chez le patient i (son IMC et sa tension)
- x̄, ȳ
- les moyennes des deux variables sur l'ensemble des patients
- (xᵢ − x̄)
- de combien ce patient s'écarte de la moyenne — positif s'il est au-dessus, négatif en dessous
- Σ
- on additionne la contribution de chaque patient
- r
- le résultat, toujours entre −1 et +1. 0 = aucune pente, ±1 = points parfaitement alignés
- r²
- r au carré : la part de la variation de Y qui s'explique par X (0,87² ≈ 76 %)
Le résultat et son interprétation
Le signe donne le sens, la valeur absolue la force : au-delà de 0,7 on parle de corrélation forte, autour de 0,3 elle est faible, à 0 il n'y a rien. Le p, lui, répond à une autre question — « cette pente pourrait-elle n'être qu'un hasard ? » — et il dépend beaucoup de l'effectif : avec 1000 patients, un r ridicule de 0,08 ressort « significatif » sans rien vouloir dire. Toujours lire r ET p ensemble. Et le piège classique : corrélation n'est pas causalité. Deux variables peuvent monter ensemble parce qu'une troisième les tire toutes les deux.
r = 0,87 : les points s'alignent très nettement, et le signe positif dit que la tension monte avec l'IMC. Le test donne p < 0,001, donc cette pente n'est pas un hasard de tirage. Le r² se lit ainsi : 0,87² ≈ 0,76, soit 76 % des écarts de tension entre patients qui s'expliquent par l'IMC — et donc 24 % qui viennent d'ailleurs (âge, génétique, sel…). À ne pas conclure trop vite : cela ne démontre pas que maigrir fait baisser la tension. Cela dit seulement que, dans cet échantillon, les deux vont ensemble.