Ma thèse
Test t de Student pour données appariées
La kiné soulage-t-elle vraiment mes patients ? Ils sont mesurés avant ET après — est-ce que ça change quelque chose ?
À quoi sert ce test ?
Sert quand la même personne est mesurée deux fois, avant et après. Et ça change tout : au lieu de comparer deux groupes, on regarde chaque patient séparément et on calcule sa propre variation. Du coup, toutes les différences entre patients — l'un est douillet, l'autre stoïque, l'un plus âgé — disparaissent d'un coup, puisque chacun devient son propre témoin. C'est ce qui rend ce test bien plus puissant qu'un test t classique appliqué aux mêmes données.
Ex : un score de douleur relevé avant et après 6 semaines de traitement, chez les mêmes patients.
Avant
68,4
Après
45,1
Score EVA moyen — n = 24 patients
Un exemple concret
On évalue un protocole de kinésithérapie sur la douleur lombaire chez 24 patients. Le score EVA (de 0 à 100) est mesuré avant, puis après 6 semaines de traitement — ce sont les mêmes 24 patients aux deux temps. Les variations individuelles se répartissent en courbe en cloche (Shapiro-Wilk, p = 0,18).
| Patient | EVA avant | EVA après | Différence |
|---|---|---|---|
| 1 | 72 | 48 | -24 |
| 2 | 65 | 41 | -24 |
| 3 | 58 | 50 | -8 |
| 4 | 81 | 55 | -26 |
| 5 | 70 | 38 | -32 |
| ... | ... | ... | ... |
| Moyenne | 68,4 | 45,1 | −23,3 |
Les conditions à vérifier
- Une variable quantitative (une valeur mesurée)
- Deux mesures sur les mêmes personnes (avant / après)
- Les variations individuelles se répartissent en courbe en cloche — le Shapiro-Wilk se fait sur la colonne des différences, pas sur les scores bruts
- Les patients indépendants les uns des autres
Ce qu'on teste : H0 et H1
En général
H0 : La variation moyenne est nulle (μ_d = 0) : rien ne s'est passé entre les deux mesures.
H1 : La variation moyenne n'est pas nulle (μ_d ≠ 0) : il s'est passé quelque chose.
Sur cet exemple
H0 : En moyenne, la douleur est la même avant et après la kinésithérapie.
H1 : En moyenne, la douleur n'est pas la même avant et après la kinésithérapie.
α = 0.05 — le risque qu'on accepte de se tromper en annonçant une différence qui n'existe pas (5 %)
Comment le test calcule ça
Le test ne regarde jamais les scores « avant », ni les scores « après ». Il fabrique une seule colonne : la variation de chaque patient (après − avant). Le patient 1 est passé de 72 à 48 : sa variation vaut −24. Puis il pose une question toute bête sur cette colonne : sa moyenne est-elle nulle ? Si la kiné ne servait à rien, les variations tomberaient au hasard — quelques patients un peu mieux, quelques-uns un peu moins bien — et leur moyenne tournerait autour de 0. Le t compare donc la variation moyenne (ici −23,3) à ce que le hasard produirait, estimé à partir de la dispersion des variations d'un patient à l'autre.
Notations
- dᵢ
- la variation d'un patient : son score après moins son score avant
- d̄
- la variation moyenne, tous patients confondus (ici −23,3)
- s_d
- à quel point les variations diffèrent d'un patient à l'autre
- n
- le nombre de patients — donc le nombre de paires (ici 24)
- ddl
- n − 1 (ici 23)
- |t|
- la valeur de t sans son signe : c'est sa taille qui compte, pas sa direction
Le résultat et son interprétation
On compare |t| au seuil de Student pour n − 1 patients, qui tourne autour de 2. Au-delà, la variation moyenne est trop nette pour être du hasard (c'est la même chose que p < 0,05). Le signe donne le sens : t négatif, ça baisse ; t positif, ça monte.
|t| = 8,31 contre un seuil de 2,07, p < 0,001. La baisse moyenne de 23,3 points vaut plus de 8 fois ce que le hasard produirait : le doute n'est pas permis. Le signe négatif confirme le sens — la douleur baisse (68,4 → 45,1). Un t aussi haut dit en fait deux choses à la fois : l'effet est ample, et il est régulier — presque tous les patients vont dans le même sens.