Ma thèse
Test Z de l'écart réduit
Mes patients traités sont à 124,3 mmHg contre 130 dans la population — écart réel ou simple fluctuation ?
À quoi sert ce test ?
Sert à confronter une moyenne à une valeur de référence quand on a du monde. À partir d'une trentaine de patients, quelque chose de remarquable se produit : même si les valeurs individuelles sont tordues, leur moyenne, elle, devient stable et prévisible. C'est le théorème central limite, et c'est ce qui permet au Z de ne rien exiger sur la forme des données.
Ex : la tension moyenne de ma cohorte traitée est-elle vraiment en dessous de la valeur de référence ?
Observé (patients traités)
124,3 mmHg
Référence (population)
130 mmHg
n = 45 patients
Un exemple concret
Dans une cohorte de 45 patients hypertendus traités par amlodipine 5 mg pendant 3 mois, on mesure la pression artérielle systolique en fin de traitement. La référence dans la population générale est de 130 mmHg. On veut savoir si le groupe traité s'en écarte vraiment.
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Moyenne observée | 124,3 mmHg |
| Écart-type | 18,7 mmHg |
| Effectif (n) | 45 |
| Valeur de référence | 130 mmHg |
Les conditions à vérifier
- Une variable quantitative (une valeur mesurée)
- Au moins une trentaine de patients — c'est ce qui rend la moyenne prévisible (théorème central limite)
- Une valeur de référence connue à l'avance
- Les patients indépendants les uns des autres
- Aucune exigence sur la forme des données : c'est tout l'intérêt d'avoir de l'effectif
Ce qu'on teste : H0 et H1
En général
H0 : La moyenne observée est égale à la valeur de référence (μ = μ₀).
H1 : La moyenne observée est différente de la valeur de référence (μ ≠ μ₀).
Sur cet exemple
H0 : La tension moyenne du groupe traité vaut la référence (μ = 130 mmHg).
H1 : La tension moyenne du groupe traité ne vaut pas la référence (μ ≠ 130 mmHg).
α = 0.05 — le risque qu'on accepte de se tromper en annonçant une différence qui n'existe pas (5 %)
Comment le test calcule ça
On divise l'écart observé (124,3 − 130 = −5,7 mmHg) par ce que le hasard produirait sur une moyenne de 45 patients. Attention au piège : ce bruit de fond n'est PAS la dispersion des patients (18,7 mmHg). C'est la dispersion de la moyenne, qui est bien plus petite — ici 18,7 / √45 ≈ 2,8 mmHg. Et c'est toute la clé du test : les tensions individuelles varient énormément d'un patient à l'autre, mais leur moyenne, non. C'est pour ça qu'un écart de 5,7 mmHg, dérisoire à l'échelle d'un patient, devient détectable à l'échelle d'un groupe. Le résultat se lit en nombre d'écarts-types : sous H0, Z se promène dans une courbe en cloche centrée sur 0, et 95 % des valeurs tombent entre −1,96 et +1,96.
Notations
- x̄
- la moyenne observée sur les patients (ici 124,3)
- μ₀
- la valeur de référence à laquelle on se compare (ici 130)
- σ
- la dispersion des patients entre eux (ici 18,7 mmHg)
- σ / √n
- la dispersion de la MOYENNE — bien plus petite que celle des patients (ici ≈ 2,8). C'est à cette aune qu'on juge l'écart
- n
- le nombre de patients (ici 45)
Le résultat et son interprétation
On compare |Z| à 1,96 : c'est la frontière au-delà de laquelle l'écart tombe dans les 5 % les plus extrêmes de ce que le hasard produit (2,5 % de chaque côté). Si |Z| dépasse 1,96, on ne croit plus au hasard — c'est exactement la même chose que p < 0,05. Le signe dit de quel côté on se trouve.
|Z| = 2,04, tout juste au-dessus de 1,96, p = 0,041. On rejette le hasard, mais de justesse : avec quelques patients de moins, ou une dispersion un peu plus grande, on ne concluait pas. Le signe négatif situe le groupe traité en dessous de la référence (124,3 contre 130 mmHg). À garder en tête : un p à 0,041 n'est pas « plus vrai » qu'un p à 0,06 — il est juste du bon côté d'un seuil qu'on a choisi arbitrairement. Un résultat aussi limite mérite d'être présenté avec la prudence qui va avec.